陳碩老師公職考試經濟學

氣溫依然讓我有多年未曾有的感覺─凍！過完了耶誕節，接下來就是跨年，聽起來挺忙的。在今天出門前，要介紹一題

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解答：

(一)阿達的終生預算限制式為C₁+C₂/1.1=96+N

(二)阿達的終生最適消費決策為C₁=72(萬元)與C₂=39.6(萬元)，終身效用極大的工作時間N=12，兩期所得Y₁=3×12=36(萬元)，Y₂=2.2×36=79.2(萬元)，第一階段貸款36(萬元)，第二階段儲蓄39.6(萬元)。

完整的計算過程

(一)阿達的終身預算限制式

首先令S表式第一階段的儲蓄，N表示工作年限，由題目所給的資料知道：N+R=48→R=48-N，接著，好好翻一下《經濟學典範(1)第7-1節》的內容，了解如何導出「跨期預算限制式」的過程。準備好了之後，再令以下的單位均以「萬元」表示。

兩階段的預算限制式分別為

第一階段：C₁+S=3N

第二階段：C₂=2.2N+1.1S

Ps

順道導求第一階段所得Y₁=3×12=36(萬元)，第二階段所得Y₂=2.2×36=79.2(萬元)

所以，阿達第一階段貸款72-36=36(萬元)，第二階段需節省(儲蓄)79.2-39.6=39.6(萬元)

後記

   花了需多工夫在解答、打字與繪圖上，總算把這題“圓滿了”，不過，對同學來說，或許還有一些“疑點”？當然，如果您對這裡所涉及的觀念與方法不熟的話，還是請您參考《經濟學典範第7-1節關於跨期預算限制式+第9-1節Cobb-Douglas效用函數+第9章附錄(二)Lagrange方法求解》。如果對這些都有概念的同學，就是對這個『變化題型』不大習慣，這裡我就作一番說明。首先，我們都習慣「兩期模型」，包括「第一期與第二期」，「年輕與老年」…等形式的考法。而這題是「兩階段模型」，每一階段都有許多年，這樣考出來就讓我們有“丈二金剛”之感。不過，仔細看題目用「跨階段利率」這個字眼，就表示我們由「兩階段模型」這個角度思考就沒錯，工作期間事一個階段，這個階段每年領3萬元，所以，工作N年就領3N(萬元)；退休期間有R=48-N年，又是一個階段，退休這個階段每年領2.2萬元，所以，退休期間共領2.2R=2.2(48-N)(萬元)，跨階段利率為0.1時，折現回第一階段為2.2(48-N)/1.1，所以，終生所得(現值)為3N+2.2(48-N)/1.1=96+N。如此，配合跨階段消費現值和即形成終生預算限制式。

   接下來，再看這題最適決策的導求過程，與傳統效用函數不一樣之處就是退休時間R也會影響阿達之效用。既然如此，阿達在極大化終生所得與效用之間，就存在抵換關係。講得更明白一點，同學可以由終生所得=96+N得知N愈高(R愈低)則終生所得愈高，但是，R愈低效用愈低，所以，終生所得與效用之間，就存在抵換關係。如此，我們就要利用Lagrange法求解，除Lagrange乘數λ不算外，要求解的內生變數有三，包括兩期消費與工作時間(或退休時間)的選擇。因此，我們將Lagrange函數分別對C₁, C₂, N與λ求極值，導得式(1)(2)(3)(4)，接著，利用一些比較方法將C₁與C₂,都整理為N的函數。這裡附帶一提：式(7)在解題過程中好像用不上，但是，為什麼還要寫出來呢？這是因為一階最適條件與接下來的整理過程如同SOP(標準作業程序)，全部作完後，再作導求最適解的工作；更重要的一點是：在解題的當下，誰知道哪些會用到？哪些不會用到？所以，先照SOP作再說吧！接下來，就是一連串標準作業流程的導求。同學多演練即熟悉度提高。在此，就不多說，拿起紙與筆多練習吧！加油！

   最後，來談圖形的部分。理論上這是個由C₁─C₂─N─TU所形成四度空間的圖形，不過，事實上大多數人都畫不出來吧？起碼我沒辦法。而且，我們想一想這小題已經花很多工夫在求解上了，命題教授應該不會那麼“狠心”叫我們畫一個四度空間的圖形吧？如此思維，則另一個“變通”的作法就是用平面空間的無異曲線分析法來顯示，如此，TU就被C₁-C₂刻劃為無異曲線，但是以年為單位的工作時間N呢？這時就將其設定在最適決策N*=12處，然後決定終生所得→跨階段最適消費決策→終生最大效用。而圖形所顯示的就是跨階段最適消費決策→終生最大效用這個部分。

   經過這番解說，同學大概對這題有所了解與體會。總而言之，這個題目的特色為

第一，跨期→跨階段

第二，U(C₁, C₂)→U(C₁, C₂, R)

因為多了這些拓展，所以，在視覺、臨場心理與解題難度上都有所不同，是個值得多加體會與欣賞的好題。完成於2012/1/30