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氣溫依然讓我有多年未曾有的感覺凍!過完了耶誕節,接下來就是跨年,聽起來挺忙的。在今天出門前,要介紹一題

 

323

今年32歲的阿達終於找到一個穩定的工作,此一工作可自由選擇工作年限,工資的給付方式如下:工作期間每年的年薪為3萬,退休金(退休後領)為工作年數乘以2.2萬。阿達自忖可活到80歲(從今以後可再活48年),因此,其人生可分成兩階段:第一階段為工作階段,工作時間N年,其消費金額總為C1;第二階段為退休階段,退休時間為R年,其消費金額總為C2。假設阿達除了工作所得及退休金之外,並無其它所得;當第一階段所得與消費不相等時,向金融機構的存款及貸款的跨階段利率皆為0.1

()請寫出阿達的終身(32歲以後)預算限制式?(10分)

()阿達終身的效用函數為U = C1(C2 R)0.5,則阿達終身效用極大的工作時間N,以及兩階段消費C1C2各為何?第一階段為儲蓄或貸款?其金額為何?請配合圖形回答上述問題。(15分)                   (100)原住民三等

解答:

()阿達的終生預算限制式為C1+C2/1.1=96+N

()阿達的終生最適消費決策為C1=72(萬元)C2=39.6(萬元),終身效用極大的工作時間N=12,兩期所得Y1=3×12=36(萬元),Y2=2.2×36=79.2(萬元),第一階段貸款36(萬元),第二階段儲蓄39.6(萬元)。

完整的計算過程

()阿達的終身預算限制式

首先令S表式第一階段的儲蓄,N表示工作年限,由題目所給的資料知道:N+R=48R=48-N,接著,好好翻一下《經濟學典範(1)7-1節》的內容,了解如何導出「跨期預算限制式」的過程。準備好了之後,再令以下的單位均以「萬元」表示。

兩階段的預算限制式分別為

第一階段:C1+S=3N

第二階段:C2=2.2N+1.1S

323(1).jpg    

323(2).jpg    

 

Ps

 

順道導求第一階段所得Y1=3×12=36(萬元),第二階段所得Y2=2.2×36=79.2(萬元)

 

所以,阿達第一階段貸款72-36=36(萬元),第二階段需節省(儲蓄)79.2-39.6=39.6(萬元)

 

後記

 

   花了需多工夫在解答、打字與繪圖上,總算把這題“圓滿了”,不過,對同學來說,或許還有一些“疑點”?當然,如果您對這裡所涉及的觀念與方法不熟的話,還是請您參考《經濟學典範第7-1節關於跨期預算限制式+第9-1節Cobb-Douglas效用函數+第9章附錄(二)Lagrange方法求解》。如果對這些都有概念的同學,就是對這個『變化題型』不大習慣,這裡我就作一番說明。首先,我們都習慣「兩期模型」,包括「第一期與第二期」,「年輕與老年」…等形式的考法。而這題是「兩階段模型」,每一階段都有許多年,這樣考出來就讓我們有“丈二金剛”之感。不過,仔細看題目用「跨階段利率」這個字眼,就表示我們由「兩階段模型」這個角度思考就沒錯,工作期間事一個階段,這個階段每年領3萬元,所以,工作N年就領3N(萬元);退休期間有R=48-N年,又是一個階段,退休這個階段每年領2.2萬元,所以,退休期間共領2.2R=2.2(48-N)(萬元),跨階段利率為0.1時,折現回第一階段為2.2(48-N)/1.1,所以,終生所得(現值)為3N+2.2(48-N)/1.1=96+N。如此,配合跨階段消費現值和即形成終生預算限制式。

 

   接下來,再看這題最適決策的導求過程,與傳統效用函數不一樣之處就是退休時間R也會影響阿達之效用。既然如此,阿達在極大化終生所得與效用之間,就存在抵換關係。講得更明白一點,同學可以由終生所得=96+N得知N愈高(R愈低)則終生所得愈高,但是,R愈低效用愈低,所以,終生所得與效用之間,就存在抵換關係。如此,我們就要利用Lagrange法求解,除Lagrange乘數λ不算外,要求解的內生變數有三,包括兩期消費與工作時間(或退休時間)的選擇。因此,我們將Lagrange函數分別對C1, C2, N與λ求極值,導得式(1)(2)(3)(4),接著,利用一些比較方法將C1C2,都整理為N的函數。這裡附帶一提:式(7)在解題過程中好像用不上,但是,為什麼還要寫出來呢?這是因為一階最適條件與接下來的整理過程如同SOP(標準作業程序),全部作完後,再作導求最適解的工作;更重要的一點是:在解題的當下,誰知道哪些會用到?哪些不會用到?所以,先照SOP作再說吧!接下來,就是一連串標準作業流程的導求。同學多演練即熟悉度提高。在此,就不多說,拿起紙與筆多練習吧!加油!

 

   最後,來談圖形的部分。理論上這是個C1─C2─N─TU所形成四度空間的圖形,不過,事實上大多數人都畫不出來吧?起碼我沒辦法。而且,我們想一想這小題已經花很多工夫在求解上了,命題教授應該不會那麼“狠心”叫我們畫一個四度空間的圖形吧?如此思維,則另一個“變通”的作法就是用平面空間的無異曲線分析法來顯示,如此,TU就被C1-C2刻劃為無異曲線,但是以年為單位的工作時間N呢?這時就將其設定在最適決策N*=12處,然後決定終生所得→跨階段最適消費決策→終生最大效用。而圖形所顯示的就是跨階段最適消費決策→終生最大效用這個部分。

 

   經過這番解說,同學大概對這題有所了解與體會。總而言之,這個題目的特色為

 

第一,跨期→跨階段

 

第二,U(C1, C2)U(C1, C2, R)

 

因為多了這些拓展,所以,在視覺、臨場心理與解題難度上都有所不同,是個值得多加體會與欣賞的好題。完成於2012/1/30

 

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